Сайт учителя  математики

-П-

 

Пифагор

Всё есть число.

* * *

Все упорядочивается согласно чисел. 

 

Пифагорейцы

 Числа правят миром. 

 

Макс Планк 

Новая научная истина побеждает не потому, что её противники убеждаются в её правильности и прозревают, а лишь по той причине, что противники постепенно вымирают, а новое поколение усваивает эту истину буквально с молоком матери.

 

Платон 

Бог всегда геометр.

* * *

Человек – это мудрейшее животное, потому, что он умеет считать.

* * *

Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?

* * *

Мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы.

* * *

Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само государство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться.

* * *

Изучение математики приближает к бессмертным богам.

* * *

Знание, к которому стремятся геометры, есть знание вечного, а не того, что тленно и преходяще.

* * *

Разве ты не знаешь, что, хотя геометры используют видимые формы и рассуждают о них, мыслят они не о самих формах, а об идеалах, с которыми не имеют сходства; не о фигурах, которые они чертят, а об абсолютном квадрате и об абсолютном диаметре… и что в действительности геометры стремятся постичь то, что открыто лишь мысленному взору? 

 

Эдгар Аллан По 

Высшая гармония одарённого воображением интеллекта всегда наделена преимущественно математическим характером.

 

Алексей Васильевич Погорелов

... В школе [есть] два главных предмета – родная речь и геометрия. Одна учит человека грамотно излагать мысли, вторая – дедуктивному мышлению.

 

Д. Пойа

Лучший способ изучить что-либо – это открыть самому.

* * *

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!

* * *

Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.

* * *

При решении задачи плохой план часто оказывается полезным: он может вести к лучшему плану.

* * *

Процесс решения задачи представляет собой поиск выхода из затруднения или пути обхода препятствия, – это процесс достижения цели, которая первоначально не кажется доступной.

* * *

Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путём подражания или упражнения.

* * *

Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны… без аналогии.

* * *

Нужно всеми средствами обучать искусству доказывать, не забывая при этом и об искусстве догадываться.

* * *

Математика интересна тогда, когда питает нашу изобретательность и способность рассуждать.  

 

Александр Поп

Почто, о боги, в этом мире

Должно быть дважды два – четыре?

 

Карл Раймунд Поппер

Существуют три уровня понимания доказательства. На самом низ­ком уровне у вас появляется приятное ощущение, что вы поняли ход рас­суждений. Средний уровень достигается, когда вы можете воспроизвести доказательство. На верхнем, или высшем, уровне вы обретаете способность опровергнуть доказательство.

 

В. Произволов 

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.

 

Ф. Прокопович 

У народов, которые владеют геометрией, даже самые простые вещи имеют какую-то особую красоту.

* * *

Ни одна наука, существующая для того, чтобы облегчить или украсить жизнь, без геометрии не могла бы не только развиваться и усовершенствоваться, но даже и появиться.

 

Анри Пуанкаре

В математике нет символов для неясных мыслей.

* * *

Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.

* * *

Наука строится из фактов, как дом из кирпичей, но простое собрание фактов столь же мало является наукой, как куча кирпичей – домом.

* * *

Если кто-либо хочет кратким и выразительным словом определить само существо математики, тот должен сказать, что это наука о бесконечности.

* * *

Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук.

* * * 

Без интуиции молодой ум не сможет продвинуться в понимании математики, он не сможет полюбить её и найдёт в ней лишь пустой набор логических упражнений, и прежде всего без интуиции он никогда не сможет применять математику.

* * *

Истинные математические науки, т.е. те, которые чему-нибудь служат, могут продолжать своё развитие только согласно свойственным им принципам, не заботясь о тех бурях, которые бушуют вне их; они будут шаг за шагом делать свои завоевания, которые являются окончательными и от которых им никогда не будет нужды отказываться.

* * *

Нужно было бы окончательно забыть историю науки, чтобы не помнить, что стремление познать природу имело самое постоянное и самое счастливое влияние на развитие математики… Если бы чистый математик забыл о существовании внешнего мира, то он уподобился бы художнику, который умеет гармонически сочетать краски, но у которого нет моделей. Его творческая сила скоро иссякла бы.

* * *

Чистый математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы подобен живописцу, умеющему гармонически сочетать цвета и формы, но лишённому натуры, модели — его творческая сила быстро бы иссякла.

* * *

В её строго логической форме математическая дисциплина принимает столь искусственный характер, что ставит в тупик любого. Забываются исторические истоки, мы видим, как вопросы могут быть разрешены, но перестаём понимать, как и почему они были поставлены.

* * *

Не существует решённых проблем, существуют только проблемы более или менее решённые. 

* * *

Математики не уничтожают препятствия, мешающие им, но просто отодвигают их за грани своей науки.

 

С.Д. Пуассон 

Жизнь украшается двумя вещами: занятиями математикой и её преподаванием.

 

А.С. Пушкин 

Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.

* * *

"Всё, что превышает геометрию, превышает нас", сказал Паскаль. И вследствие того написал свои философические мысли.

 

-Р-

Ганс Радемахер, Отто Теплиц

За своеобразной символикой формул, за интегралами и сигмами, словно за высокой стеной, уединилась математика от окружающего мира. То, что происходит за этой стеной, обычно остается тайной для непосвященного, и в стремлении ее разгадать он представляет себе бескровный механизм «мертвых чисел», который функционирует по законам внутренней необходимости. Тому же, кто остается за стеной, она отчасти закрывает горизонт, мешает взглянуть на внешний мир, он увлекается возможностью оценивать математические факты собственными мерками и находит тщеславное утешение в том, что в его владения не попадает профан.

Нельзя ли пробить эту непроницаемую стену и открыть математику «непосвященному», причем так, чтобы это принесло ему переживание собственного активного участия в математическом познании и творчестве? Может такое «активное» восприятия математики доступно только для узкого круга «математически одаренных»? Конечно, математическим талантом в собственном смысле этого слова, т.е. способностью самостоятельно открывать новые математические истины, наделены далеко не все. Но, например, музыкальный талант, то есть способность создавать музыкальные произведения достаточно высокого уровня, тоже имеют не все. А между тем мы встречаем множество людей, которые понимают музыку, способны сами «музицировать», по крайней мере находят в музыке радость. Нам кажется, что если бы только удалось преодолеть то недоверие, с которым многие под влиянием случайных школьных впечатлений отказываются от всего, что связано с математикой, то людей, склонных «импровизировать» в области несложных произведений математического искусства, оказалось бы не меньше, чем активных любителей музыки.

* * *

Истинная математика заключается не в нагромождении искусственных вычислительных приёмов, а в умении получать нетривиальные результаты путём размышления при минимуме применяемого аппарата.

 

Бертран Рассел

Чистая математика – это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим.

* * *

Математика представляет собой собрание выводов, которые могут быть применены к чему угодно.

* * *

Чтобы создать здоровую философию, нужно отречься от метафизики, но быть хорошим математиком.

* * *

Математика, правильно понятая, обладает не только истиной, но также величайшей красотой, какой обладает искусство ваяния.

* * *

Во всех делах очень полезно периодически ставить знак вопроса к тому, что вы с давних пор считали не требующим доказательств.

* * *

Всякая точная наука основывается на приблизительности.

* * *

Нежелательно верить в гипотезу, когда нет решительно никаких оснований считать ее верной.

* * *

Тот факт, что вся математика есть не что иное, как символическая логика, – величайшее открытие нашего века.

* * *

Метод постулирования того, что нам требуется, обладает многими преимуществами, но такими же преимуществами обладает воровство перед честным трудом.

* * *

Математика служит вечным укором… скептицизму, ибо её здание, возведённое из истины, противостоит неколебимо и неприступно всему оружию сомневающегося цинизма.

 

лорд Рэлей  

Примеры... число которых можно увеличивать как угодно, показывают, как трудно экспериментатору объяснять часто свои результаты без помощи математики.

-С-

 

Джордж Сантаяна  

Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике.  

 

Джеймс Джозеф Сильвестр

Математика – музыка разума.

 

Я.Г. Синай

Математика и физика должны быть вместе, как карета и лошадь в упряжке.

 

Генри Джон Стивен Смит 

Арифметика — одна из древнейших, возможно, самая древняя отрасль человеческого знания, и в то же время наиболее глубокие тайны находятся где-то рядом с её избитыми истинами.

* * *

Геометрия обратилась бы в ничто, если бы не её строгость.

 

Ян Снядецкий 

Математика – царица всех наук. Её возлюбленный – истина, её наряд – простота и ясность. Дворец этой владычицы окружен тернистыми зарослями, и, чтобы достичь его, каждому охотнику приходится пробираться сквозь чащу. Случайный путник не обнаружит во дворце ничего привлекательного. Красота его открывается лишь разуму, любящему истину, закаленному в борьбе с трудностями, свидетельствующему о незаурядности и непреодолимой склонности человека к необычайно запутанным, но неиссякаемым и возвышенным наслаждениям ума, свойственным самой природе людей. 

 

У.У. Сойер 

Стоит только показать, что какая-либо вещь невозможна, как найдется математик, который ее сделает.

* * *

Смелость разума присуща всем математикам. Математик не любит, когда ему о чем-то рассказывают, – до всего он хочет додуматься сам.

 

Спиноза 

Математика и опыт – вот подлинные основания достоверного, естественного, разумного живого познания.

 

Гертруда Стайн 

Математика может открыть определенную последовательность даже в хаосе. 

 

Стевин 

Среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью...

 

Чарльз Протеус Стейнметц  

Математика — наиболее точная наука, и её выводы абсолютно доказуемы. Но это происходит лишь потому, что математика не пытается выводить абсолютные заключения. Все математические истины относительны, условны.

 

Владимир Андреевич Стеклов

При помощи логики никто ничего не открывает; силлогизм может только приводить других к признанию той или другой, уже заранее известной истины, но как орудие изобретения бессилен. Математик иногда наперёд высказывает весьма сложное положение, совершенно не очевидное и затем начинает доказывать его. В изобретении чуть ли не каждого шага доказательства играет роль не логика, а интуиция, которая идёт поверх всякой логики.

 

Маршалл Стоун

Хотя в нашей концепции математики и в наших взглядах на нее по сравнению с началом XX в. произошло несколько важных изменений, лишь одно из них вызвало подлинный переворот в наших представлениях о математике – открытие полной независимости математики от физического мира... Математика, как мы сейчас понимаем, не имеет ни одной обязательной связи с физическим миром, помимо той смутной и несколько загадочной, что неявно содержится в утверждении о том, что процесс мышления происходит в мозгу. Без преувеличения можно сказать, что открытие независимости математики от внешнего мира знаменует собой одно из са­мых значительных интеллектуальных достижений в истории математики...

* * *

Современная математика предпочитает характеризовать свой предмет как изучение общих абстрактных систем, каждая из которых построена из специфических абстрактных элементов и структурирована наличием произвольных, но недвусмысленных специализированных связей между ними.

* * *

…Именно новая ориентация математики, ставшая возможной лишь благодаря ее отходу от приложений, и была подлинным источником необычайной жизнеспособности и роста математики за последнее столетие...

* * *

Лишь в той степени, в какой математика освободилась от уз, связывающих ее в прошлом с теми или иными конкретными аспектами реальности, она может стать гибким и мощным инструментом, столь необходимым для вторжения в области, лежащие за пределами известного. 

 

А.В. Суворов 

 Математика – гимнастика ума.

 

В.А. Сухомлинский 

Умственный труд на уроках математики – пробный камень мышления.