Сайт учителя математики
Всякая хорошо решённая математическая задача
доставляет умственное наслаждение, а сосредоточенные
размышления успокаивают сердце, делая его созвучным Вселенной.
Г.Гессе
-Г-
С. Гиртман, Ч. Рыл-Гардзевский
Современная математика – это язык будущего.
Томас Гобсс
Если бы геометрические аксиомы задевали интересы людей, они бы опровергались.
* * *
Геометрия чем-то напоминает вино.
-Д-
Жан Лерон Д'Аламбер
Алгебра щедра, она часто дает больше, чем у нее просят.
* * *
Достоверность математики является тем её преимуществом, которым она обязана главным образом простоте своего предмета. Более того, нужно признать, что поскольку не все отделы математики имеют одинаковый по простоте предмет, постольку и достоверность в собственном смысле слова, — достоверность, основывающаяся на принципах, являющихся необходимо истинными и очевидными сами по себе, — присуща различным её отделам не в одинаковой степени и неодинаковым образом. Многие отделы математики, опирающиеся или на физические принципы, т.е. на опытные истины, или же на простые гипотезы, обладают, так сказать, лишь достоверностью опыта или даже достоверностью чистого допущения. Строго говоря, обладающими полной очевидностью можно считать только те отделы математики, которые имеют дело с исчислением величин и с общими свойствами пространства: таковы алгебра, геометрия и механика. Даже и здесь, в степени ясности, которую наш ум находит в этих науках, можно заметить своего рода градацию и, если можно так выразиться, те или иные оттенки. Чем шире тот предмет, который ими охватывается и чем более обща и абстрактна та форма, в которой она в них рассматривается, тем больше их принципы избавлены от неясностей и тем более они доступны для понимания. Именно по этой причине геометрия проще механики, а они обе менее просты, чем алгебра.
Джордж Говард Дарвин
Всякое новое в открытии является математическим по форме, ибо нет никакой другой возможной для нас путеводной нити.
Чарльз Дарвин
У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных.
Рене Декарт
Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять.
* * *
Математика представляет искуснейшие изобретения, способные удовлетворить любознательность, облегчить ремёсла и уменьшить труд людей.
* * *
Я считал наиболее достоверными те истины, которые ясно воспринимал как относящиеся к фигурам, числам и другим материям, принадлежащим арифметике, геометрии и вообще чистой и абстрактной математике… Только математикам дано достичь несомненности и ясности, ибо они исходят из того, что наиболее легко и просто.
* * *
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера…
* * *
Бесконечность распознаваема, но не познаваема.
* * *
Природа воплощает в себе то, на чём теоретически основана математика.
* * *
Я решил отказаться от чисто абстрактной геометрии, т.е. от рассмотрения вопросов, служащих лишь для упражнения ума, чтобы заняться изучением геометрии иного рода, предмет которой составляет объяснение явлений природы.
Уильям Джеймс
Все грандиозные достижения математики и естественных наук… проистекают из нашего неутомимого желания придать миру в наших умах более рациональную форму, чем та, которую придал ему грубый порядок нашего опыта.
Джеймс Джинс
Самый важный факт состоит в том, что все картины природы, рисуемые наукой, которые только могут находиться в согласии с данными наблюдений, – картины математические… За пределы математических формул мы выходим на свой страх и риск.
* * *
Судя по некоторым специфическим особенностям своего творения, великий создатель Вселенной начинает представать перед нами как чистый математик.
К. Дзевановский
Когда разговариваешь с математиком, можно не иметь представления о математике. Но при этом совершенно необходимо чувство юмора и сознание своего ничтожества...
Роберт Диггз
Математика была для меня в детстве тем же, чем была религия. Потому что и религия, и математика утверждают, что могут объяснить весь мир.
Дени Дидро
Начинать исследование можно по-разному. Всё равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь… На пути к истине мы почти всегда обречены совершать ошибки.
Леонард Юджин Диксон
Слава богу, теория чисел не запятнана никакими приложениями.
П. А. М. Дирак
Математика — это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлечёнными понятиями любого вида, и в этой области нет предела её могуществу. По этой причине книга о современной физике, если она не сводится к простому описанию экспериментальной работы, должна быть по существу математической.
* * *
Оказывается, одна из основных особенностей природы заключается в том, что законы фундаментальной физики описываются очень изящными и мощными математическими теориями. Для понимания этих теорий нужно быть математиком высокого уровня. Вы можете удивляться: почему Природа устроена таким образом? Единственное, что можно ответить на современном уровне знаний – Природа таким образом сконструирована. Остаётся только принять это. Другими словами, Бог – математик очень высокого уровня и Он использовал самую совершенную математику при создании Вселенной. Наши слабенькие математические усилия позволяют нам понять устройство лишь маленького кусочка Вселенной, и по мере дальнейшего развития математики мы надеемся понять устройство Вселенной лучше.
* * *
…Нужно в первую очередь руководствоваться соображениями математической красоты, не придавая особого значения расхождениям с опытом. Расхождения вполне могут быть вызваны какими-то вторичными эффектами, которые прояснятся позже.
Артур Конан Дойл
…Человека, умеющего наблюдать и анализировать, обмануть просто невозможно. Его выводы будут безошибочны, как теоремы Евклида.
Ф. Дж. Дэйвис
Числа – это обязательное орудие современной цивилизации, которое используется для упорядочения сферы её деятельности.
* * *
Математика является меньше знанием, чем умением.
-Е-
Евклид
Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой.
* * *
В ответ египетскому царю Птолемею I, просившему указать ему более легкий путь изучения геометрии:
— Нет царского пути в геометрии.
* * *
Точка есть то, что не имеет частей.
Линия же – длина без ширины.
Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.
* * *
Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.
В.П. Ермаков
В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.
-Ж-
Альбер Жирар
Можно было бы спросить, для чего нужны эти невозможные решения (комплексные корни). Я отвечу – по трём причинам: для незыблемости общих правил; чтобы не было других решений и по причине их полезности.
Н.Е. Жуковский
В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.
Александр Жуков
…Отношения математики и живописи особенно близки, ибо эти виды деятельности зачастую используют один и тот же объект исследования. Более того, так же как математика может быть использована для анализа живописи, последняя в свою очередь (рисование, черчение, в частности) очевидно полезна в математических исследованиях, причем далеко не только в геометрии. Математику и живопись в этой связи можно рассматривать просто как два различных, взаимодополняющих способа визуализации конкретной или абстрактной реальности, в которой мы существуем.
-З-
Е. Замятин
… И математика, и смерть – никогда не ошибаются.
Мирон Зарицкий
Кого не привлекает ни красота, ни искусство, кто живет убогой духовной жизнью – тот ничего не даст и математике. Поэзия не отличается от математики высшим полетом воображения, а математик отличается от поэта только тем, что все и везде понимает... Но как и в искусстве, так и в математике только произведения, отличающиеся красотой, переживают столетия и воспитывают поколения.
-И-
И.А. Ибрагимов
Математический талант – сложная вещь. Разумеется, математические способности его необходимый ингредиент. Но этого мало. Математические способности встречаются чаще, чем обычно полагают. Однако, математика, как и наука вообще, трудна и чтобы добиться в ней чего-либо стоящего, нужно жить ею, нужна страстность.
-К-
В. Каверин
Математика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению.
В.Ф. Каган
… Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение.
М.И. Калинин
Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.
И. Кант
В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.
* * *
Так как во всяком учении о природе имеется науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней априорного познания, то учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в нем математика.
* * *
Математика – это наука, брошенная человечеством на исследование мира в его возможных вариантах.
П.Л. Капица
Не пора ли всех математиков числить по разделу "спорт", как шахматистов?
Пётр Фёдорович Каптерев
Математика нужна для изучения многих наук, но сама она не нуждается ни в какой науке.
Т. Карлейль
С помощью цифр доказать можно все что угодно.
Китя Карлсон
Известна теория, много раз доказанная практикой, что сколь бы большое число людей уже не находилось в вагоне, всегда может войти еще один человек. Сначала одной ногой, потом двумя ногами, с курткой, зажатой между дверями, но войдет. То есть метод математической индукции неумолимо доказывает: в вагон может зайти бесконечное количество людей
Д. Карнеги
Используйте закон больших чисел для изгнания беспокойства из вашей жизни. Спрашивайте себя: какова вероятность того, что это событие вообще произойдёт.
* * *
Прежде чем выступать, Линкольн с математической точностью обдумывал свои выводы. Когда ему было сорок лет, и он был уже членом конгресса, он изучал Евклида, чтобы иметь возможность выявлять софизмы и доказывать свои выводы.
Л. Карно
Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, – это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым.
* * *
Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.
Иоганн Кеплер
Математика есть прообраз красоты мира.
* * *
Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые бог ниспослал миру и открыл нам на языке математики.
* * *
Тяжкий жребий – писать в наши дни математические книги... Если не соблюдать надлежащей строгости в формулировках теорем, пояснениях, доказательствах и следствиях, то книгу нельзя считать математической. Если неукоснительно соблюдать все требования строгости, то чтение книги становится весьма затруднительным.
* * *
Геометрия имеет два сокровища: одно из них – Пифагорова теорема, а второе – деление отрезка в среднем и крайнем отношениях... Первое из них можно сравнить с мерой золота, а второе похоже на драгоценный камень.
Моррис Клайн
Доказательство называется строгим, если таковым его считает большинство математиков.
* * *
Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись — радовать глаз, поэзия — пробуждать чувства, философия — удовлетворять потребности разума, инженерное дело — совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей.
* * *
В глазах непосвященного математические символы словно вражеские штандарты, развивающиеся над, казалось бы, неприступной цитаделью.
* * *
За страсть к специализации математика платит бесплодием.
* * *
Математика должна прочно стоять на земле и уходить головой в облака. Подлинную, живую, содержательную математику рождает сочетание абстракции и конкретных проблем. Математики могут воспарять в облака абстрактного мышления, но, подобно птицам, за пищей должны возвращаться на землю. Чистую математику можно сравнить с тортом, подаваемым на десерт. Он приятен на вкус и даже способен в какой-то мере насытить нас, но организм не может существовать только на тортах – без «мяса и картошки» реальных проблем, составляющих основу его питания.
* * *
Хотя математика – творение чисто человеческое, тот путь, который она открывает нам к различным явлениям природы, приводит к результатам, превосходящим самые смелые ожидания. Как ни парадоксально, но именно абстракции, столь далекие от реальности, позволяют достичь столь многого. Возможно, что искусственное математическое описание не более чем сказка для взрослых, но сказка с моралью: человеческий разум обладает огромной силой, даже если эту силу не так-то легко объяснить.
За успехи математики заплачено определенной ценой, и эта цена – количественный подход к миру: мы рассматриваем его о точки зрения меры, веса, продолжительности и тому подобных понятий. Такое описание может давать о богатом и разнообразном опыте не более полное представление, чем рост человека о человеке. В лучшем случае математика описывает некоторые явления природы, но математические символы передают далеко не все.
* * *
Математика по-прежнему остаётся эталоном самого надёжного и точного знания, которого мы только в состоянии достичь.
* * *
Альфред Норт Уайтхед некогда сказал: «Нельзя не признать, что занятия математикой – ниспосланное богами безумие человеческого духа». Безумие? Вполне возможно – но, несомненно, ниспосланное богами.