Сайт учителя математики
Всякая хорошо решённая математическая задача
доставляет умственное наслаждение, а сосредоточенные
размышления успокаивают сердце, делая его созвучным Вселенной.
Г.Гессе
-В-
Андре Вейль
Для нас, чьи плечи ноют под тяжестью наследия греческой мысли, кто идёт по стопам героев эпохи Возрождения, цивилизация немыслима без математики.
Герман Вейль
Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.
* * *
В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удаётся предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа.
* * *
…Классическая математика, питаемая верой в абсолют, превосходящий все человеческие возможности реализации, выходит за рамки утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на опыте.
* * *
Для нас, чьи плечи ноют под тяжестью наследия греческой мысли, кто идёт по стопам героев эпохи Возрождения, цивилизация немыслима без математики.
* * *
Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики.
* * *
Подлинно реалистическая математика наряду с физикой должна восприниматься как часть теоретического описания единого реального мира и по отношению к гипотетическим обобщениям своих оснований занять такую же трезвую и осторожную позицию, какую занимает физика.
* * *
Красота тесно связана с симметрией.
* * *
Чистая математика обладает нечеловеческим свойством звёздного света – сверкающего, яркого, но холодного.
* * *
Построения математического ума являются одновременно и свободными, и необходимыми. Отдельный математик свободен определять свои понятия и устанавливать свои аксиомы как ему угодно. Но вопрос: заинтересует ли он своих коллег-математиков продуктами своего воображения? Мы не можем не чувствовать, что некоторые математические структуры, развившиеся благодаря усилиям многих учёных, несут печать необходимости, которая не затрагивается случайностями их исторического появления. Каждый, кто созерцает зрелище современной алгебры, будет поражён этой взаимодополнительностью свободы и необходимости.
* * *
Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным.
* * *
Логика – это своего рода гигиена, позволяющая математику сохранять свои идеи здоровыми и сильными.
* * *
В системе математики имеются два обнаженных пункта, в которых она, может быть, соприкасается со сферой непостижимого. Это именно принцип построения ряда натуральных чисел и понятие континуума.
* * *
Математика – это вид умственной деятельности, а не свод точных знаний.
* * *
В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов.
Е.С. Вентцель
Ответственные решения должны приниматься не интуитивно, а на основе предварительных прикидок, математических расчётов. И не случайно именно в наше время отмечается бурный рост математических методов во всех областях практики. Вместо того чтобы "пробовать и ошибаться” на реальных объектах, люди предпочитают делать это на математических моделях. Построение таких моделей, их анализ и вывод рекомендаций – одна из важнейших задач прикладной математики.
* * *
То и дело раздаются голоса, утверждающие, будто главная задача обучения математике в школе и вузе – это научить людей логически мыслить. Отсюда чрезмерная формализация математических дисциплин, изложение их в отрыве от задач практики. Слов нет, привычка к логическому мышлению – хорошее дело, но у математики есть и другие задачи: активного вмешательства в практику, разумной организации производственных и иных процессов. Жизнь непрерывно требует от математика ответа на вопрос, как поступить в том или другом случае, при тех или других сложившихся обстоятельствах. И дело его чести – не уходить от этих требований в пучину абстракций, а по мере сил удовлетворять их.
* * *
Математика не только проникает в ранее чуждые для неё области, «завоёвывает» их – она при этом и сама трансформируется, становится менее формальной, менее ригористичной, меняет свои методологические черты, приближаясь к наукам гуманитарным.
Юджин Пол Вигнер
Математика – это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Ясно, что особенно важная роль при этом отводится придумыванию новых понятий. Запас интересных теорем в математике быстро исчерпался бы, если бы их приходилось формулировать лишь при помощи понятий, содержащихся в аксиомах.
* * *
Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар. Следует надеяться, что он не покинет нас в будущих исследованиях и что он будет – хорошо это или плохо – развиваться к нашему большому удовлетворению, а быть может, и к нарастающему беспокойству, расширяя область познания окружающего нас мира.
* * *
Математик не только способствует более глубокому пониманию решения, найденного естествоиспытателем, но и существенно обобщает первоначальную постановку проблемы.
* * *
Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в будущих своих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы.
Наум Яковлевич Виленкин
Решение трудной математической проблемы можно сравнить с взятием крепости.
* * *
Одни из них (например, виднейший французский математик А. Вейль) убеждены, что математик утоляет свою жажду непосредственно в источнике знаний, который всегда чист и обилен, а представители других наук вынуждены довольствоваться мутным потоком действительности, что целью математики является прославление человеческого духа.
Вильсон
Эквилибристикой математики можно внушить доверие даже к самой ложной теории.
Норберт Винер
Математика – один из видов искусства.
* * *
Едва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии освоиться с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную или эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение. Я решительно протестую против этого косного представления о математике.
* * *
Математика – наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой – это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости.
* * *
Высшее назначение математики – находить порядок в хаосе, который нас окружает.
* * *
Большинство так называемых культурных людей, не связанных с математикой по роду своих занятий, считает совершенно допустимым не иметь об этой науке ни малейшего представления. Математика для них – нечто в высшей степени скучное, сухое и отвлечённое… В наиболее печальных случаях считается, что это почти то же самое, что занятие бухгалтерией.
* * *
Одна из главных обязанностей математика, выступающего в роли советника, заключается в предостережении от слишком больших ожиданий.
Леонардо да Винчи
Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.
* * *
Тот, кто хулит высшую достоверность математических наук, питается сумбуром и никогда не заставит умолкнуть возражения софистических наук – наук, которые учат лишь вечному крику.
* * *
Все проблемы Перспективы можно прояснить при помощи пяти терминов математики: точка, линия, угол, поверхность и тело.
* * *
Пусть никто, не будучи математиком, не дерзает читать мои труды.
* * *
Из всех заслуживающих изучения первопричин и действующих начал природы восторг зрителя вызывает главным образом Свет, а из достопримечательностей Математики разум исследователя в несравненно большей степени, чем всё остальное, возвышает непреложность её доказательств.
А.В. Волошинов
Математика остаётся олицетворением науки, символом мудрости, царицей всех наук. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства.
* * *
Математика во все времена была и остаётся "первой красавицей" среди наук и, следовательно, эстетические принципы науки наиболее ярко проявляются в математике.
* * *
Математика несёт красоту в любую науку.
* * *
Именно математика в процессе своего развития лишилась материального предмета изучения, и это сделало её всемогущественной наукой. Сегодня любой человек, даже совершенно далёкий от математики, знает, что математика представляет собой могучую силу, сфера влияния которой практически не ограничена.
* * *
Математика является символом мудрости науки, образцом научной строгости и простоты, эталоном совершенства и красоты в науке.
* * *
Осмысленное и систематическое приложение к искусству математика нашла, конечно , в музыке, в трудах древнегреческого математика Пифагора, его многочисленных учеников и последователей.
Вольтер
В голове Архимеда было больше воображения, чем в голове Гомера.
* * *
Математическая истина остается на вечные времена, а метафизические призраки проходят, как бред больных.
С. Врублевский
Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину.
-Г-
Г. Галилей
Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.
* * *
Великая книга природы написана математическими символами.
* * *
В конце концов, окружность бесконечно большого круга и прямая линия - одно и то же.
* * *
Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами, – я разумею Вселенную, но понять её сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики, и письмена её – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без коих нельзя понять по-человечески её слова: без них – тщетно кружение в тёмном лабиринте.
* * *
Бог вложил в мир строгую математическую необходимость, которую люди постигают лишь с большим трудом, хотя их разум создан по образу и подобию божественного разума… Исследование природы – занятие столь же благочестивое, как и изучение Библии. В деяниях Природы господь бог является нам не менее достойным восхищения образом, чем в божественных стихах Писания.
Эварист Галуа
Эта наука (математика) – творение человеческого разума, предназначенное не столько для знания, сколько для познания, для поиска, а не для отыскания истины.
Фрэнсис Гальтон
Где это возможно, считайте.
Пьер Гассенди
Если мы действительно что-то знаем, то мы знаем это благодаря изучению математики.
Карл Фридрих Гаусс
Математика — царица наук, арифметика — царица математики. Она часто снисходит до оказания услуг астрономии и другим естественным наукам, но при всех обстоятельствах первое место, несомненно, остаётся за ней.
* * *
Допущение, что сумма углов треугольника меньше 180°, приводит к своеобразной, отличной от нашей геометрии; эта геометрия совершенно последовательна… Положения этой геометрии кажутся парадоксальными и непривычными человеку, даже несуразными; но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного.
* * *
Я всё более убеждаюсь, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим разумом и для человеческого разума. Может быть, на том свете мы сумеем постичь структуру пространства, пока непостижимую. А до тех пор геометрию надлежит помещать в один класс не с арифметикой, а с механикой, истины которой требуют экспериментальной проверки.
* * *
В математике нет настоящих противоречий.
Томас Генри Гексли
Математика, подобно жернову, перемалывает то, что под неё засыпают, и, как засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных посылок.
Израиль Моисеевич Гельфанд
По моей внутренней философии – ранее бессознательной, а теперь четкой – я считаю, что математика, помимо своего прикладного – в физике, инженерии, компьютерах и так далее, – имеет значение и в области чистого интеллекта. Это хорошо понимали греческие философы, но это понимание было утрачено в последнем, технократическом столетии. Для человеческого интеллекта правильное отношение к математике играет такую же роль, как восприятие музыки, поэзии и других недоходных или малодоходных областей человеческой деятельности. Поэтому я всегда старался, чтобы красота математики доходила и до тех людей, которые никогда в жизни больше заниматься ею не будут. Организованную мною... в России заочную математическую школу окончили более 70 тысяч человек, большинство из них не стало профессиональными математиками, но убедилось в ее неизмеримой красоте!
Иоганн Фридрих Гербарт
Мнение, что способность к математике встречается реже, чем способность к другим наукам, – это только иллюзия, которую породили те, кто берется за математику непоследовательно и небрежно.
А.И. Герцен
Астрономия, как наука, стала существовать с тех пор, как она соединилась с математикой.
Г. Гессе
Всякая хорошо решённая математическая задача доставляет умственное наслаждение, а сосредоточенные размышления успокаивают сердце, делая его созвучным Вселенной.
И. Гёте
Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется.
* * *
Математики похожи на французов: чтобы вы ни сказали, они все переведут на свой собственный язык. Получится нечто противоположное.
* * *
Намного легче обнаружить ошибку, чем открыть истину.
* * *
Я слышал, что меня обвиняют в том, что я являюсь противником, врагом математики, которую никто не может оценить выше, чем я, ибо она завершает именно то, достижение чего отрицает меня.
* * *
История науки – это сама наука.
Д. Гиббс
Математика – тоже язык.
Давид Гильберт
Бесконечность! Ничто не двигало так глубоко человеческий разум.
* * *
Математика есть единая симфония бесконечного.
* * *
Об одном из своих учеников: Он стал поэтом — для математика у него не хватало фантазии.
* * *
Математика является учением об отношениях между формулами, лишенными какого бы то ни было содержания.
* * *
Математика – всего лишь игра в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями.
* * *
В огромном саду геометрии каждый может подобрать себе букет по вкусу.
* * *
Мы все убеждены в том, что любая математическая задача поддаётся решению. Это убеждение… является для нас большим подспорьем в работе, когда мы приступаем к решению математической проблемы, ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существуетignorabimus (мы не будем знать).
* * *
На мой взгляд, истинная причина, в силу которой… не удалось найти неразрешимую математическую проблему, заключается в том, что неразрешимых проблем не существует.
* * *
Где же ещё искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечки?
* * *
... Любые рамки, в особенности национального характера, противоречат духу математики. Только абсолютно не понимая нашей науки, можно создавать различия между людьми и расами, а причины, по которым это делалось, являются крайне ничтожными. Математика не знает рас... Для математики весь культурный мир представляет собой единую страну.